3.6. Гидравлический расчет водопроводно-кольцевой сети. Метод Лобачева-Кросса

В кольцевых сетях значения расходов воды в участках должны удовлетворять одновременно уравнениям Кирхгофа I-го и II-го рода. Для гидравлических сетей уравнение Кирхгофа II-го рода (контурное) выражает равенство нулю алгебраической суммы потерь напора в каждом из колец сети:

или проще , где i ε k, k - контур. (3.18)

Таким образом, имеем два условия:

, где j - узел; (3.17, a)

, (3.18, a)

где i-е участки, принадлежащие контуру k.

После начального потокораспределения выполняется только первое условие, а второе чаще всего не выполняется. Цель гидравлического расчёта кольцевой водопроводной сети – выполнить второе условие. Для каждого контура сети составляется уравнение, которое имеет нелинейный вид. Так как контуров обычно больше одного, то в результате имеем систему нелинейных уравнений. Для расчёта системы нелинейных уравнений применяется метод Ньютона.

3.7. Метод Ньютона (касательных) решения нелинейных уравнений

Метод Ньютона основан на замене значений функции F(x) в точке начального приближения х=х₀ касательной, пересечение которой с осью Х даёт первое приближение х₁, и так далее до тех пор, пока разница между двумя касательными не окажется меньше заданной погрешности.

Известно: F(x) = 0 на отрезке [ab]. Выбирается начальное условие x0 на том конце отрезка [ab], на котором функция и её вторая производные совпадают по знаку f”>0, f>0 (для вогнутой функции -) и f”<0, f<0 (для выпуклой функции -). Проводится касательная к графику функции до пересечения с осью абсцисс. Получаем значение x1, и сравниваем значение функции с F(x0) и т.д. Итерационный процесс схождения к корню реализуется формулой (3.19) схождения

Рис. 25. Схема пояснения метода Ньютона

(3.19)

до тех пор, пока соблюдается условие , где  - заданная погрешность вычисления корня х.

Задаёмся ε ≤ 0,5 м для ручного счёта и ε ≤ 0,01 м для машинного расчёта. Итерационный процесс сходится, если соблюдается условие f’(x)<1 при а<x<b. Метод обеспечивает быструю (квадратичную) сходимость.

3.8. Модифицированный метод Ньютона

Этот метод применяется, когда нельзя найти аналитическую производную функции. Вместо вычисления производной на каждом шаге итераций находят приближённое значение, вычисляемое через приращения функции:

. (3.20)

В уравнение (3.19) вместо подставляется зависимость (3.20) и получается формула (3.21)

. (3.21)

Алгоритм решения уравнения F(x) = 0 методом Ньютона

Шаг 1. Задаётся начальное приближение x₀=’, x.

Шаг 2. Задаётся погрешность Е=’, E.

Шаг 3. Задаётся функция .

х=х-F (* *).

Шаг 4. Сравнивается результат с погрешностью.

Если х>E, то повторить шаг 3,

иначе писать (‘корень уравнения х=’, x).

3.9. Метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений

Наиболее распространённый метод решения системы N-уравнений:

где i- номер переменной (i =1,2,…,N). (3.22)

Алгоритм решения

1. Задаётся: а) абсолютная или относительная погрешность =Е;

б) число уравнений – N;

в) максимальное число итераций –m;

г) вектор начальных приближений x_i0

(с компонентами x₁₀, x₂₀, x₃₀, …, x_N0).

2. Используя разложение функции F_i(x_i) в ряд Тейлора, имеем

F(x_i+_x_i)= F(x_i)+ . (3.23)

Формируется матрица Якоби, необходимая для расчёта приращения функции _F_i(x_i)= . При малом изменении переменных матрица Якоби в развёрнутом виде запишется в виде

. (3.24)

Поскольку аналитическое дифференцирование функции F_i(x_i) в общем случае нежелательно, то частные производные в матрице Якоби заменяют приближёнными конечно-разностными значениями

, (3.25)

где H_i – малое приращение x_i: = H_i = .

3. Составляем и решаем систему нелинейных уравнений для малых приращений x_i:

. (3.26)

4. Вычисляют уточнённые значения переменных

(3.27)

Решение этой системы даёт _х_i=(_х₁, _х₂, _х₃,…, _х_N).

5. Для всех _х_i проверяют одно из условий

_х_i >, . (3.28)

Если условие выполняется, то повторяют выполнение новой итерации с п. 2, иначе считают вектор найденным решением.